Макет страницы
и энергия зависит только от значений JaK = \к\. Собственные функции зависят от всех трех квантовых чисел и могут быть записаны точно для любого набора значений (/, к, т) с использованием выражений (8.39), (8.42) и (8.48) и рекуррентного соотношения (8.52); остается определить лишь нормирующий множитель «о - С учетом выражения (8.55) для Ex имеем
ZV =/(/+1) (8.58)
Y = /(/+I)-P(P-2)/4. (8.59)
Задача 8.1. Записать ненормированные волновые функции для молекулы типа вытянутого жесткого симметричного волчка для состояний (a) J = 3, k = т = 0; (б) J = 3, k = —1, т = = — 2 и (в) J = 3, к = 1, т = —2.
Решение, (а) для / = 3 и k = т = 0 имеем \k-\-m\ = = \k — т\ =0, так что «макс = / = 3 и а = 1, P = 2, у = 12, а,\ = —12а0, а2 = 3Oa0 и а3 = —2Oa0- Таким образом [пользуясь обозначением F1, k, т(х)],
Ез, о. о (х) = (1 - 12х + 3Ox2 - 2Ox3) а0 = (- f cos 9 + \ cos3 о) а0,
и можно записать ненормированную волновую функцию (пользуясь обозначением Ф/, т).
Фз, о, о = (4 cos3 9 - cos 9) ; (8.60)
(б) для / = 3, к =—1, т = — 2 имеем \k-\-m\=3, \k — т\ = 1, a = 2, р = 6, у — 6, «маКс = 1, и, следовательно,
^з. - к -2 = [— у + у cos 9] a0,
так что ненормированная волновая функция равна
Фз. -1, -2= е~''хе-2'>(1 — cos 9)''' (1 + cos 9)5'2 (3 cos 9 — 1); (8.61)
(в) для / = 3, к = 1, т = —2 имеем \k + т\ = 1, |&— — mI =3, a = 4, р = 6, у = 6, «макс = 1, и, следовательно,
^з, 1.-2= (j+ Tcos9) a0,
так что ненормированная функция равна
ф3_2 = е'хе-2*Ф (1 - cos 9)¾ (1 + cos 9)¾ (1 + 3 cos 9). (8.62)
Если бы функция F(x) была такой, что все ап = 1, то она представляла бы геометрическую прогрессию. По аналогии введенная выше функция F(x) называется гипергеометрическим рядом (или гипергеометрической функцией). Стандартная форма
