Макет страницы
вид
(ФА-ФА):4 (5.104)
(Фае„ - Ф6еа): A2 (5.105)
[(Фаеа - фа). (ф«в6 + Ф»е0)]: £. (5. Ю6)
Три функции симметричного произведения Фава, Фь®ь и (Фавб + Фбва) образуют базис представления А\($Е, а функция антисимметричного произведения (Фа&ь — ФбЭа) образует базис представления A2.
Рассмотрим теперь произведение \Фа(Е), ФЬ(Е)] X [Фа(Е), Фь(Е)]. Оно дает функции [ФаФа, Ф«Ф6, ФйФи, ФбФ»], и согласно (5.103) можно ожидать, что эти четыре функции будут преобразовываться по А\ 0 A2 ф Е. Однако Ф„Ф& = Ф<,Фа, и в этом произведении остаются только три независимые функции. Из (5.105) видно, что антисимметричная функция произведения исчезает и три независимые функции в произведении (обязательно симметричные функции произведения) преобразуются по А\ ф£
Можно расширить произведение, вводя функции
W а = (2Z1-Z2-Z3)/^, (5.107)
Ч'й = (Z2 - г3)/У2 (5.108)
и образуя произведения [Ф<„ Ф6] X [©а, ©б] X [Фа, Фь]. Эти восемь функций образуют базис представления
Е®Е® E = Ed)(A1QA2QE) = Л,©Л2©3£. (5.109)
С другой стороны, вводя произведения [Фа, Ф6] X [Фа. Фб] X X [Фа, Фь], мы получим четыре независимые функции ФаФаФа, ФаФаФй, ФйФйФй, ФйФйФй, которые преобразуются по A1 ф 0)А2®Е.
Решение задачи 5.3 дает примеры представления симметричной и антисимметричной части произведения представления самого на себя. Симметричная часть произведения двумерного представления, например Е, какой-либо группы есть представление, по которому преобразуются функции Фа6а, Фйвь и (Фа©<, + Ф*ва), где (Ф„, Ф6) и (ва, вй) типа Е; антисиммет-ричная часть произведения порождается функцией (Фа6& — — Ф&ва). В группе C3V (M) представление прямого произведения E^E приводится к сумме представлений A1 ф E и A2, из которых первое является представлением симметричной части произведения, а последнее — представлением антисимметричной части произведения. Запишем симметричную часть произведения
[Ef = [E(S)E] = A1QE (5.110)
