Макет страницы
Задача 5.3. Определите представление, порождаемое произведением Ф(A2)X [Фа(Е), Фь(Е)], где функции даны выражениями (5.78), (5.81) и (5.85). Если ввести
еа(£) = (2к,-к2-к3)/Уб и G6(S) = (K2-K3)/'уг;
какова будет симметрия произведения
\Фа(Е), Фь (E)]XlQa(El Qb(E)]? Определите также симметрию произведения
[Фа(Е), Фь(Е)]Х[Фа(Е), Фь(Е)].
Решение. Два произведения функций Ф(А2) и [Фа(Е), Фъ(Е)] равны Ф(Л2)Фа(£) и Ф(Л2)Ф6(£). Эти функции преобразуются по представлению П1*, причем, согласно (5.92), характеры в Г(1> равны
хг«> [е] = %а2 [ё] х %е [е] = ! х 2 _ 2, (5.96)
[(123)1 = [(123)] XХ(£> [(123)] =1 X(-l) = - 1 (5.97)
и
хт0) [(12Г] = ха, [(12)*] X Xя [(12)'] = (-1) X 0 = 0. (5.98)
Мы выбрали по одному элементу из каждого класса группы C3v (M); видно, что образованное представление является неприводимым представлением Е. Запишем
A2® E = E. (5.99)
Отсюда следует, что [Ф(А2)ФП(£), Ф(А2)ФЬ(Е)] преобразуются согласно представлению E группы C3v(M).
Умножив \Фа(Е), ФЬ(Е)] и [G0(Z:), ®ь(Е)], получим четыре функции [Ф„6а, Ф„ёь, Фь®а, Фбв6], которые образуют базис представления, например Г(2), причем характеры этого представления равны [см. (5.92)]
%гт\Е] = %Е\Е]ХхЕ[Е] = 4, (5.100)
Хг<2> [(123)] = хЕ К 123)] X Xе [(123)] = 1 (5.101)
и
Хг(2> [(12)4 = х*[(\ 2)1 X Xе [(12 Л = 0. (5.102)
Таким образом, характеры Г(2> равны [4,1,0]. Это представление приводится к Ai © A2 © Е, и можно записать
Е®Е = АХ@А2®Е. (5.103)
Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, используя проекционные операторы, что комбинации произведений функций, которые преобразуются неприводимым образом, имеют