Макет страницы
ствием (12), т. е. являются антисимметричными относительно (12). Для того чтобы определить, какие функции симметричны, а какие антисимметричны, необходимо подробно рассмотреть выражения для этих функций.
В качестве простого примера рассмотрим функцию SJn(Xi-X2), антисимметричную по отношению к операции (12):
(12) sin (X, - X2) = sin (X2 - X1) = - sin (X1 - X2). (5.33)
С другой стороны, функция COS(Xi — X2) симметрична относительно (12). Функции sin(Xi—X2) и COs(X1-X2) и функции, используемые ниже в задачах 5.1, 5.2 и 5.3, взяты просто как подходящие примеры для изучения трансформационных свойств функций и не являются собственными функциями гамильтониана молекулы.
Для большей ясности рассмотрим оператор (12) вместе с тождественным оператором E и составим группу S2. Группа S2 имеет два неприводимых представления Г] и Г2; их характеры указаны в табл. 5.1. Функция, симметричная относительно дей-
Таблща 5.1
Таблица характеров группы S2
S2:
| e
| (12)
|
Ti:
| 1
| 1
|
Г2:
| 1
| — 1
|
ствия (12), образует базис представления (или порождает представление) Г] группы S2, так как применение операций E или (12) к симметричной функции дает ту же функцию, умноженную на (+1), и поэтому матричный элемент представления Г] равен (+1) как для элемента Е, так и для (12). Функция, антисимметричная относительно (12), дает числа (+1) и (—1) при операциях E и (12) соответственно и таким образом образует базис представления Г2. Поэтому симметричные функции относятся к типу симметрии Ti, а антисимметричные — к типу симметрии Г2 группы S2.
При выводе результата (5.32) из уравнения (5.28), описывающего действие операции (12) на функцию Wn, существенно, что (\2)2 = Е. Произвольный оператор R, который коммутирует с гамильтонианом, не должен быть равен своему обратному; в общем случае Rm = Е, где m ф 2. В этом случае для невырожденной собственной функции имеем
RmWn = cmWn = Wl
(6.34)