Макет страницы
тониана двумерного (изотропного) гармонического осциллятора:
(8.203)
£V2 = 4- IPl + P2 + A. (Ql + Ql)].
Для двумерного гармонического осциллятора можно было бы Использовать волновые функции (8.197), но оказывается более удобным записать их в новых координатах Q и а вместо Q0 и Qb и ввести новые квантовые числа v и I вместо V0 и Vb. Координаты Q и а определяются соотношениями С
т. е.
Qa = Q cos а (8.204)
Qb = Q sin а, (8.205)
Q = l(Qa + QD'/2l (8.206)
а = arctg (QbIQ0) = yarccos [(Qa —
-Ql)I(Ql+ Ql)I (8.207)
Рис. 8.2. Графическое представление соотношения между координатами (Qa, Qb)
и (Q, а), определяемого уравнениями (8.204)-(8.207) для двумерного изотропного гармонического осциллятора.
где Q > 0 и 0 ^ a ^ 2л. Связь между этими координатами представлена на рис. 8.2. Замена координат в выражении (8.203) [с использованием цепного правила, см. (6.8) и (6.9)] дает
Этот оператор коммутирует с оператором колебательного углового момента Й, который записывается в виде
а
M = (QaPb-QbPa) = ~1Л-
да
и собственные функции Й„2 можно записать как
4v. i = Fv. i(Q)etla,
где
MW
v, I ■
■■ IhW0,
(2.209)
(8.210) (8.211)
a Fv, i(Q) является функцией только Q. Далее будет показано, что квантовое число колебательного углового момента / может принимать одно из (v + 1) значений: v, v — 2, v — 4, —v.
Собственные функции, собственные значения Uv2 и матричные элементы нормальных координат и импульсов могут быть определены с помощью лестничного оператора (см. [79]), и те-