Макет страницы
И
</, k + 2, т |(7ш)2| /, k, т) =
= {[J(J+\)-(k+\)(k + 2)][J(J+l)-k(k + l)]fh2. (8.118)
Вилно, что /?г для асимметричного волчка имеет отличные от нуля матричные элементы только между состояниями с одинаковыми /и/ли между состояниями с одинаковыми значениями k или значениями k, отличающимися на 2. В результате матрица гамильтониана распадается на блоки, по одному для каждого значения У, и каждый из этих блоков содержит 2/ + 1 одинаковых блоков, по одному для каждого значения т. В отсутствие внешних полей это вырождение по т влияет только на интенсивности линий; пренебрежем им и рассмотрим только состояние с т = 0. Каждый блок / (для т = 0) может быть путем диа-гонализации приведен к четырем блокам (посредством составления сумм (+) и разностей (—) функций |/, К, 0) и |/, —К, 0), где K = Это связано с тем, что Яг не имеет матричных элементов между функциями с четными k и нечетными k или между + и — функциями. Четыре блока обозначаются символами E+, E-, O+ и 0~ в зависимости от того, является ли k четным или нечетным, и от того, являются ли они + или — функциями. Этот момент будет продемонстрирован при решении задачи 8.3. Общий вывод, касающийся матрицы гамильтониана асимметричного волчка с заданным /, состоит в том, что при четном / блок E+ имеет размерность (/ + 2)/2, а другие три блока имеют размерность J/2, в то время как при нечетном J блок Е~ имеет размерность (/— 1)/2, а три других блока — размерность (/+ 0/2.
Задача 8.3. Определите энергии и волновые функции для молекулы типа жесткого асимметричного волчка с вращательными постоянными Ле, Ве и Се для состояний с / = 0, 1 и 2.
Решение. Рассмотрим значения / = 0, 1 и 2 в отдельности и для каждого блока / матрицы гамильтониана пренебрежем вырождением по т, опустив обозначение т, т. е. базисные функции обозначим I У, k).
При / = 0 блок матрицы гамильтониана имеет размерность 1 X 1 и содержит волновые функции / = k = 0 базисного набора. Этот матричный элемент равен нулю, и поэтому Er(J = = 0) = 0 и Фг(/ = 0) = (8л2)-'/*.
Блок / = I с размерностью 3X3 содержит |/, k) — функции с k = —1, 0 и +1, т. .е 11, —1), 11, 0) и 11, +1). Образуем суммарную и разностную комбинации и обозначим их через |/, К, Л*), где A = O или E (для нечетного или четного значения):
|l, 1, 0+) = [\\, -1) + |1, +1)1/V5; (8.119)
|l, 1, 0"> = 1| 1, -1) + |1, +1>]/У2 (8.120)
