Макет страницы
со всеми другими матрицами M3 группы. Легко показать, что все матрицы Мр, получаемые таким путем, принадлежат этой же группе; согласно групповым аксиомам, обе матрицы MrM3 и Mg и, следовательно, матрица M7x(MrMs) должны принадлежать той же группе. Далее, так как преобразование подобия типа (4.46) не должно изменять характер матрицы, то Mr и Mp должны иметь один и тот же характер. О двух матрицах в матричной группе, которые связаны как М, и Мр в (4.46) преобразованием подобия, включающим другую матрицу (здесь M5) группы, говорят, что они являются сопряженными и принадлежат одному классу.
Элементы любой группы можно разделить на классы. Говорят, что два элемента AaB группы принадлежат одному классу, если в группе существует элемент С, такой, что
C-1AC = B. (4.47)
В группе S3 имеется три класса:
Е, [(12), (23), (13)] и [(123), (132)]. (4.48)
Из-за изоморфизма, следующего из преобразований типа (4.47), структура классов групп D3 и Гз такая же, как и у группы S3. Можно показать, что число неприводимых (и неэквивалентных) представлений группы равно числу классов группы. Поэтому группа D3 или S3 имеет только три неприводимых представления, и ими являются Гь Гг и Г3 [см. (4.25) и (4.31)].
Задача 4.3. Можно показать, что внутренние координаты смещений (координаты растяжения связей и деформаций углов) молекулы BF3 образуют (способом, который объясняется в следующей главе) базис представления Г группы S3 (эта группа состоит из всех перестановок ядер фтора; обозначим эти ядра цифрами 1, 2, 3). Характеры этого представления равны
R: E (12) (23) (13) (123) (132), ^
%4R]: 7 I 1 1 !■I. (4'49)
Воспользуйтесь формулой (4.43) для приведения этого представления к неприводимым представлениям группы S3. В правильности ответа можно убедиться, проверив выполнимость соотношения (4.426).
Решение. Используя (4.43) с разложением
Г = а1Г1фа3Га©а3Г8,
