Макет страницы
случае процедура приведения состоит в следующем. Пусть Г — приводимое представление, а Гь Г2, Гз, ... — неприводимые представления группы. Нужно найти целочисленные коэффициенты ав разложении
Г = A1I1I ©а2Г2©а3Гз+ (4.42а)
где
ХГ[*]=]>>ДГ/.[Я]; (4.426)
суммирование проводится по всем неприводимым представлениям группы. Умножая (4.426) справа на %Vi [R]* и суммируя по R с учетом соотношений ортогональности (4.39), получим
ДЛЯ Ui
а' = тХУ M/W- (4.43)
R
где я— порядок группы и R пробегает значения всех элементов группы. Так как приведение представления зависит только от характеров, то это означает, что представления, имеющие одинаковые характеры, должны быть эквивалентными; характеры служат для различения неэквивалентных представлений.
Если положить i = j в (4.39), то видно, что для неприводимого представления выполняется равенство
Е! хГ'[/?]Р = л, (4.44)
R
которое может быть использовано для выявления неприводимости представления. Другой важный результат состоит в том, что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы равна порядку группы, т. е.
Y11\ = h, (4.45)
где суммирование ведется по всем неприводимым представлениям группы; это выражение может быть использовано для выяснения, найдены ли все неприводимые представления группы.
Сопряженные элементы и классы
Элементы группы могут быть разделены на классы. Эту важную идею мы поясним, используя матричные группы. Рассмотрим один из элементов матричной группы, например Мг, и образуем произведение
М; 1MrM9 = M, (4.46)
