Макет страницы
из них уже были определены выше:
(123)(123) = (132), (1.24)
(12)(23) = (123), (1.25)
(13)(23) = (132). (1.26)
Из выражений (1.25) и (1.26) видно, что циклы могут быть записаны как произведения транспозиций, и оказывается, что любая перестановка может быть представлена в виде произведения последовательности транспозиций. Например, если нас интересует перестановка первых семи целых чисел, можно написать
(15432) (67) = (15) (54) (43) (32) (67). (1.27)
В общем случае разбиение перестановок на произведение ряда транспозиций неоднозначно, но однозначно можно установить, четное или нечетное число транспозиций содержится в таком произведении. Перестановка называется четной или нечетной в зависимости от того, будет ли четным или нечетным число транспозиций в ее произведении. Из (1.25) и (1.26) видно, что перестановки (123) и (132) четные, а из (1.27) ясно, что перестановка (15432)(67) нечетная. Важность определения четности перестановки станет очевидной после того, как в гл. 6 будут рассмотрены формулы статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака.
Задача 1.4. Определите четность перестановок: (146)(2357), (17)(23456), (1462357) и (14)(27)(36).
Решение. Можно записать эти перестановки как произведения транспозиций различными способами. Приведем один из вариантов:
(146) (2357) = (14) (46) (23) (35) (57), (17)(23456) = (17)(23)(34)(45)(56),
(1462357) = (14)(46)(62)(23)(35)(57), ( ' '
(14)(27)(36) = (14)(27)(36).
Все перестановки нечетные, за исключением третьей.
Если читатель перемножал попарно все перестановки (1.4) и пытался получить результат умножения
(123)(132) = ?, (1.29)
то он должен был удивиться, написав ответ. В самом деле, выполнив операцию (132) и затем (123), мы получим в результате тот же порядок чисел; эту операцию, означающую «не
