Макет страницы
чтобы было понятно, почему выбран порядок написания операций (132)(23), а не (23)(132), когда перестановка (23) применяется первой. Нетрудно убедиться, что последовательное применение сначала операции (23), а затем (132) к любому числу, приведенному в (1.1), всегда эквивалентно действию операции (13). Поэтому можно написать операторное уравнение
(132)(23) = (13). (1.21)
Говорят, что произведение (132) и (23) (или результат умножения одной операции на другую) в указанном порядке равно (или эквивалентно) (13); другими словами, они оказывают одинаковое действие на порядок чисел.
В общем случае произведение двух перестановок не зависит от порядка чисел, выбранного для определения произведения [в равенстве (1.19) для определения результата умножения (132)(23) использован порядок чисел 123], и, имея некоторую практику, можно определить произведение двух перестановок без их применения к упорядоченному набору чисел. Определим, например, произведение (23)(132). Это то же, что и произведение в (1.21), но перестановки расположены в обратном порядке. Действие (132) сводится к замене 1 на 3, 3 на 2 и 2 на 1; действие (23) приводит к замене 3 на 2, 2 на 3 и 1 на 1. Применяя сначала операцию (132), а затем (23), мы последовательно заменяем 1 на 3 и на 2, 3 на 2 и на 3, 2 на 1 и на 1, т. е. в итоге заменяем 1 на 2, 3 на 3 и 2 на 1, что эквивалентно действию (12). Отсюда
(23)(132) = (12). (1.22)
Из сравнения (1.21) и (1.22) видно, что умножение перестановок не обязательно коммутативно, т. е. для двух перестановок А и В не обязательно выполнение равенства AB = BA.
Результат совместного действия перемножаемых перестановок в обозначениях (1.5) станет легче для понимания, если эти обозначения немного расширить. Запишем (1.22) в таком виде:
123
«,««„««,ч /123 4/123 N /312 V 123 \
312 213
здесь «трехуровневые» круглые скобки означают последовательную замену 1 на 3 и на 2, 2 на 1 и на 1, 3 на 2 и на 3, вызванную применением двух перестановок.
Читателю рекомендуется теперь самому определить результат попарного умножения различных перестановок (1.4). Трн
