Макет страницы
ТЕОРИЯ СТРОЕНИЯ ДИФФУЗНОГО ДВОЙНОГО слоя В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАПИЛЛЯРЕ*
Уравнение Пуассона — Больцмана (П — Б) для данной конфигурации имеет особенность па отрезке интегрирования при г = 0. Для применения численных методов необходимо исключить эту особенность. С данной целью найдено аналитическое решение вблизи сингулярной точки в виде / = <fa - f - ф, где фа = / | r = 0 ij) < 1. Подставляя это выражение в уравнение II — Б и линеаризуя его, получаем
dr
= sh фа ~ Ф ch фс
(П.3.1)
Представим решение (П.3.1) в виде ряда по четным степеням г, что отвечает особенностям уравнения
(П. 3.2)
■/■*. (П.3.3)
Приравняв коэффициенты, стоящие перед одинаковыми показателями степеней г в левой и правой частях уравнения (П.3.1), искомое решение находим в виде - _ sh q-a sh2(jDa ch - фа sh фа ch» фа sli фа
4 ^ 128 ' 36-64 г 64 • 36 • 64
Следующий шаг заключается в сшивании в точке г = s функций - фи/, а также и их производных, определенных соответственно в интервалах |0, в|, If. у. а].
Для выеокозаряженных поверхностей > 1) нелинейность уравнения П — Б выражена в значительной степени, что обусловило выбор наиболее устойчивой схемы. По этой причине разностный метод Ньютона применялся совместно с методом продолжения решения по параметру |1]. Промежуток интегрирования (е, у. а) был приведен к единичному путем введения t ~- (г — е)/(ха — е). Поскольку на каждом шаге итерационного процесса Ньютона требуется решать задачи Коти для системы дифференциальных уравнений, то устойчивость счета при решении задач для больших значений у. а и достигалась делением промежутка интегрирования (0,1) на несколько частей н соответственно увеличением порядка решаемой системы. Оказалось, что устойчивость счета обеспечивается при небольшом числе (ш) участков, на которые разбивается промежуток (т — 4).
Описание методики численного решения нелинейного уравнения П — Б, выбор длин и количества участков интегрирования изложены в работе |2] применительно к внешним задачам двойного слоя. Согласно этой работе, рассматриваемую здесь задачу, подлежащую программированию, можно записать так:
dt
dX.,
-- (ум — к) А'.,.
dt
г - k sh X1 —
(XU — S)
(1 - I)(S1X1^b1) + X3
(П. 3.4)
t (ха — е) - f - е
* Приложения 3 и 4 написаны В. Л. Сигалом.