Макет страницы
поэтому
12 (262 + 1)
(02 _ I)V2
Общее решение уравнения (IV.84) имеет следующий вид:
Qn (ch о))
л=0
Фр, = QhEG (M0) Y1 dln
где
Qn (ch й)о) 2Ac^, •
Pn (cos 0).
(П. 1.6)
Покажем, что этот ряд абсолютно и равномерно сходятся в области ю > <о0 и, следовательно, имеет в этой области определенную сумму. Оценим величину Qn (ch (Q)-Q-(Ch(U0)-
dQn (ch M0)
п+ 1
sh (D0 + ch (B0 ch а
d ch (U0 sh (D0 J (ch шо + Sh и0 ch а)"+2
■da; (П. 1.7)
так как sh е>0 - dQn (ch W0)
d ch (D0
ch (D0 ch а > ch M0 - f - sh ш0 ch а, то
со
п А - 1 С ch (Q0 + sh M0 ch а > ShM0 J
(ch ш0 + sh м0 ch а)"+2
с/а :
sh м„
Qn (ch M0).
(П. 1.8)
Следовательно,
Qn (ch м)
Qn (ch м)
1
Qn (ch м0) (я + 1) (ch M0) ^ я + 1 Здесь использовано неравенство, полученное в работе [I], Qn(ChM) ch мг i"+1
ch м,
ch м
л+1
Qn (ch M0)
ch м
H
(П. 1.9)
(П. 1.10) •
Таким образом, ряд (П. 1.6) мажорируется числовым рядом, общий член которого равен
d\ Q"(ChM) Pn(COSU) Qn (ch M0)
<
(я + 1)я
(П. 1.11)
и который, как можно показать пользуясь интегральным признаком сходимости числовых рядов, сходится. Абсолютно и равномерно он сходится в области ш > м0, причем, как следует из оценки (П.1.11), эта сходимость не нарушается и на поверхности эллипсоида м= м0. Согласно теореме Гарнака о последовательностях гармонических функций, (ppi представляет собой гармоническую функцию во внешней области.
Проверим выполнение граничного условия. Для этого нужно показать, что
ряд
OO '
дф„ Qn (ch м)
Чр - = QhE £ dln? Pn(cosт»
n=o Qn(ch<°o)
(П. 1.12)
равномерно сходится, т. е. ряд (П. 1.6) можно почленно дифференцировать. 236
