Макет страницы
ОБОСНОВАНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПОЛЯРИЗАЦИИ ДВОЙНОГО СЛОЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
Обозначим функцию под знаком интеграла в формуле (IV.88), домиожаемую на Pn (х), через / (л:).
Функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема. Покажем, что | din \ <
Q
< -,г-, где С — постоянная. Действительно, используя рекуррентную формулу п /г
Pn+1 (х) - Р„_, (х) = (2п+\)Рп (х)
и проводя дважды интегрирование по частям в формуле (IV. 88),'получаем
1
= 2(¾» + ¾ 5 (Х) 1 {Х) ~ Р" {Х)] dx +
l
+ 2(2M-1) J /" W\рп (х) - Р„_2 Wl dx, (JXlA)
где d*n отличаются от d
постоянным множителем.
Согласно неравенству Буняковского,
^ - _^
j Pn (х) dx < У 2 j Р\ (хуdx = Y*Y-2rT+T ' (П'1 '2)
•поэтому для любой непрерывной на отрезке |— 1, 1] функции г|) (х) имеем по теореме о среднем
1 \
I С ф (л) Pn W dx k M С! Pn(Jt)IdX^ 2/И. (П. 1.3)
1 ii 1 ii (2« + О А
Сопоставляя формулы (П.1.3) и (П.1.1), видим, что
Ю<-?7Г- (П. 1.4)
В нашем случае C= 2М, где УИ —величина меньшая, чем max | /" (х)\. Заметим, что модуль второй производной функции / (х)
\Г(х)\= &Ь\-№)х+(6-ЗЬ>)х*
(b2 — х2) I*
принимает максимальное значение в точках ± I, т. е.
6 (2Ь2 4- 1) - D
* Написано Ю. Я. Еремовой. ■ • : > <
