Макет страницы
Например, для v = 1 имеем
Ф1 = С - //(A2y)'*] R+O0 = (8.172)
= (Y/4n)v< (2Y'/aQ) exp (- YQ2/2). (8.173)
В общем случае можно записать
Ф„ = N0H0 (уЩ exp ( - YQ2/2), (8.174)
где
Nv = y4</(n4'2*0\yi; (8.175)
a Hv(y'!'Q)—полином Эрмита, первые четыре значения которого равны (см. приложение Шв книге [121])
Н0(у'Щ)=1, (8Л76)
Н{(уЩ = 2уЩ, (8.177)
Я2 (Y72Q) = 4YQ2- 2 (8.178)
и
H3 (yV2Q) = 8Y%Q3 - 12Y'/sQ. (8.179)
В общем случае H0Iy1^Q) содержит {y'kQ) в степенях v, v — 2, v — 4, ..., 1 или 0, либо во всех четных, либо нечетных степенях в зависимости от того, четное или нечетное v.
Наиболее часто используются матричные элементы операторов PhQb базисе волновых функций гармонического осциллятора. Из формул (8.166) и (8.171) следует, что
(Ф0±1 IR* I Ф0> = ± / [(v + т ± 4) h2yf, (8.180)
и только эти матричные элементы операторов R+ и R - отличны от нуля. Из формул (8.147) и (8.148) видно, что
P = (R+ + R~)IV2 (8.181)
и
Q = (R+- R-)/(lhy V2), (8.182)
так что ненулевые матричные элементы операторов PhQ могут быть получены из выражения (8.180); они приведены в табл.8.2. Выбор фазового множителя, согласно (8.170), приводит к тому, что матричные элементы Q являются действительными, a P — мнимыми. Видно, что матричные элементы P или Q отличны от нуля только между состояниями, для которых значения v отличаются на ±1. Матричные элементы PrQs, где г и s — целые числа, можно найти в табл. 8.2 (см. задачу 8.5); ненулевыми являются те матричные элементы <w'|PrQs|w">, для которых
v' = v"+r + s, v" + r + s-2, v" + r + s-4, ..., v" — r-sl). ___ (8.183)
') Нижним пределом будет 1 или 0, если v" < (л + s).
