Макет страницы
Гз и т. д. путем преобразования подобия. Так как Г — приводимое представление, можно привести к блочно-диагональной форме все его матрицы Z)r[/?] с помощью того же преобразования подобия. Предположим, что для этого требуется матрица А порядка г, такая, что
ADv[R\A-1 = DFl[R]®DT,[R]®DTi[R]® .... (5.156)
где в правой части записано сокращенное обозначение блочно-диагональной матрицы порядка г, состоящей из неприводимых блоков D1I[R]. Используя (5.54) — (5.61), найдем, что каждую функцию Ф„ можно записать в виде линейной комбинации функций Wl, которые преобразуются неприводимым образом (верхний индекс / означает неприводимое представление Г,-, порождаемое функциями Wt) по формуле
Ф„=ЕАЛ (5.157)
а обратное преобразование имеет вид
Wi=ZU-1LOn. (5.158)
п
Задачу можно сформулировать так: дано г функций Ф„, преобразующихся по приводимому представлению Г; как определить линейную комбинацию функций W\, которая преобразуется неприводимо? В замечании после выражения (5.65) сказано, что оператор проектирования P1; порождает именно такую линейную комбинацию (или проектирует Ф„ на Wl), что мы теперь и покажем. Запишем
ЯГ'Ф„=£хГ'[ЯГЯФ»= (5-159)
R
= Е/ЧЯГ#Е AnM = (5.160)
r i
= E DT< [R]I11 E Anl E Dri [R]1nVL= (5.161)
R, k Im
= E AniyLZDv4R]lkDrl[Rhm, (5.162)
k, l, m
где (5.160) следует из (5.157) и W\ преобразуется неприводимо в соответствии с Г/. Подставляя соотношение ортогональности (4.38) в (5.162), получим
Р^фп = J-^AnA (5.163)
