Макет страницы
Таким образом, т является квантовым числом проекции рови-бронного углового момента вдоль пространственно-фиксированной оси £. Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, что операторы J2, Jz и коммутируют друг с другом.
Задача' 8.2. Предположим, что Л является оператором с собственными функциями tyk и собственными значениями ак, т. е.
Л>* = М>А. (8.83)
Предположим далее, что найден такой оператор б, коммутатор которого с Л равен этому же оператору, умноженному на постоя-ную величину, т. е.
[А, 6] = ЬО, (8.84)
где Ь — постоянная величина. Доказать, что при этих условиях Chpfc является собственной функцией оператора Л с собственным значением (ак + Ь), т. е. что
Лтк] = (ак + Ь)[6^к]. (8.85)
Решение. Действуя на собственную функцию ip* оператора Л обеими частями уравнения (8.84), имеем
ЛОтрй — ОЛ% = ЬО^к, (8.86)
т. е.
A[O^11]-Oa^k = Ь[6$к],
и, таким образом,
А[д^к] = ак[6^к] + Ь[6^к),
откуда непосредственно следует уравнение (8.85). Если b равно нулю, т. е. если Л и О коммутируют, то и <5ip,-, и г|зь являются собственными функциями оператора Л с одинаковыми собственными значениями.
Оператор, подобный О, удовлетворяющий уравнению (8.84) в задаче 8.2, называется лестничным оператором для собственных функций Л, поскольку он преобразует каждую собственную функцию оператора Л в новую собственную функцию, когда собственное значение увеличивается или уменьшается в зависимости от знака Ъ.
Можно ввести лестничные операторы углового момента следующим образом. Из уравнения (7.147) находим
\L (£ + Uy)] = - h{Jx + Uy) (8.87)
и
[/г, {Jx - Uy)] = + h (Jx - Uy) (8.88) и, вводя обозначение
J m = Ox ± U у), (8.89)