Макет страницы
Эти группы состоят из одномерных матриц, и поэтому матричное умножение сводится к простому алгебраическому умножению. Гомоморфное соответствие групп S3 и Ds этим матричным группам имеет вид
D3'. E Сы Cld Сга Сгь Сгс,
S3: E (123) (132) (12) (23) (13),
Г2: 1 1 1 -1-1 -1, (4,31)
T1: 1 1 1 111.
Если группа гомоморфна матричной группе, говорят, что матричная группа образует неточное представление группы; поэтому каждая из групп Т\ и Г2 образует неточное представление групп S3 и D3.
Эквивалентные и неприводимые представления
Мы ввели уже три представления Гь Г2 и Ts групп S3 и D3. Эти представления можно использовать двумя различными путями для получения других представлений. Однако эти три представления занимают особое место среди всех представлений по той причине, что они неприводимые, а также потому, что все другие неприводимые представления S3 и D3 эквивалентны этим. Определим теперь понятия «неприводимый» и «эквивалентный» и покажем, как можно получить другие представления из этих трех.
Эквивалентные представления
Один способ образования нового представления из представления Г3 заключается в образовании эквивалентного представления. Мы можем подвергнуть все матрицы представления Г3 одному и тому же преобразованию подобия, т. е. умножить справа каждую матрицу Г3 на матрицу 2X2, скажем А, и затем умножить результат слева на обратную матрицу А~х; тем самым матрица Мг в Г3 будет изменена на A-1MrA, н, так как матричное умножение ассоциативно, получим
{A~lMrA) (A~lMsA) = A-1Mr (AA-1) MSA = A-1MM8A. (4.32)
Новая матричная группа изоморфна группе Гз с соответствием Mr — А~1МГА и т. д. Поэтому новый набор матриц будет также изоморфен группам S3 и D3 и образует точное их представление. Говорят, что два представления, связанные преобразова-
