Макет страницы
Каждому элементу из S3, согласно (4.22), соответствует некоторый элемент группы D3. Соответствие элементов в (4.22) выбирается таким образом, чтобы при замене всех элементов S3 в таблице умножения группы S3 (табл. 1.1) соответствующими элементами из группы D3, согласно (4.22), получилась таблица умножения группы D3 (табл. 3.1). Эти две таблицы умножения имеют одинаковую структуру, и поэтому о группах S3 и D3 говорят, что они изоморфны. Например, если в группе S3 взять произведение (см. 1.21)
(123)(23) = (13) (4.23)
и заменить в нем каждый элемент соответствующим элементом по схеме (4.22), то получим
СыС2ъ = С2с, (4.24)
как и должно быть (см. табл. 3.1). Формально две группы изоморфны, если элементы одной (А, В, С, ...) соответствуют (или могут быть уподоблены) элементам другой (А, В, С, .. .J единственным взаимно-однозначным образом (А — А, В — В, С—С, ...), так, что из AB = C можно вывести, что AB = C и т. д. Ясно, что изоморфные группы должны иметь одинаковый порядок, но группы одного порядка не обязательно изоморфны. Наилучший способ проверки изоморфности двух групп — изучение их таблицы умножения; для этого достаточно проверить, имеется ли в таблице умножения изоморфной группы элемент.4, соответствующий элементу А первой группы, элемент В, соответствующий элементу В, и т. д.
Матричная группа Г3, введенная в (4.21), изоморфна как группе S3, так и группе D3 со следующим соответствием элементов:
S3 : E (12) (23) (13)
D3: E Сча С2ь С2с
Г1 ОТ Г 1 01Г -1/2 л/3~/2]Г -1/2 - л/з"/2] 1зЧ0 1 J L 0 —1 J L V3"/2 1/2 JL-V372 1/2 J
(123) (132)
Сад Cld
Г -1/2 V3-/2 1Г - 1/2 - V3-/2] L-V3-/2 - 1/2 J L V3"/2 -1/2 J' ^
О матричной группе, которая изоморфна другой группе, говорят, что она образует точное представление этой группы. Следовательно, матричная группа Г3 образует точное представление