Макет страницы
языке обычного алгебраического умножения мы можем сказать, что если произведение двух матриц размера я X " есть л-мерная единичная матрица, то одна из этих матриц является обратной по отношению к другой. Например,
_1 L Уз
2 2 2 2
Уз Уз" _ 1
2 2 _ _ 2 2
и поэтому матрицы в левой части этого равенства обратны одна но отношению к другой. Эти две матрицы являются также транспонированными друг относительно друга; матрица, транспонированная относительно А, получается путем замены каждого элемента Ац на Ац и записывается как А. Поэтому из (4.1) мы имеем
Мз б]; ^
Если какая-либо матрица равна своей транспонированной матрице, то она является симметричной, а если матрица обратна своей транспонированной матрице, то она ортогональна. Обе матрицы в левой части (4.8) ортогональны.
Матрица Af, эрмитово-сопряженная (или транспонированная сопряженная) матрице А, получается путем комплексного сопряжения транспонированной матрицы
Af = (AT, (4.10)
(А% = А*п. (4.U)
Матрица, равная своей эрмитово-сопряженной, является эрмитовой, а матрица, обратная своей эрмитово-сопряженной, является унитарной.
Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется следом матрицы и обозначается буквой х'> например, из (4.1) и (4.9) имеем
X(D) = X(D)= 7. (4.12)
Эти важные определения сведены в табл. 4.1.
Задача 4.1. Рассмотрим двумерную квадратную матрицу
Г i/V2" f/vn
H-//V2- !/УН' (4ЛЗ)
где P = г— 1. Унитарна ли эта матрица и каков ее след?
